Краткое описание
Определение. Кольцом называется алгебра К = ‹К, +, -, ·, 1› типа (2, 1, 2, 0), главные операции которой удовлетворяют следующим условиям:
Прикрепленные файлы: 1 файл
Кольцо. Определение. Примеры. Простейшие свойства колец. Гомоморфизм и изоморфизм колец.
Определение. Кольцом называется алгебра К = ‹К, +, -, ·, 1› типа (2, 1, 2, 0), главные операции которой удовлетворяют следующим условиям:
- алгебра ‹К, +, -› есть абелева группа;
- алгебра ‹К, ·, 1› есть моноид;
- умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть для любых элементов a, b, c из К
(a + b) · c = a · c + b · c, c· (a + b) = c · a + c · b.
Основное множество К кольца К обозначается также через |К|. Элементы множества К называются элементами кольца К.
Опред. Группа ‹К, +, -› называется аддитивной группой кольца К. Нуль этой группы, то есть нейтральный элемент относительно сложения, называется нулем кольца и обозначается 0 или 0 К.
Опред. Моноид ‹К, ·, 1› называется мультипликативным моноидом кольца К. Элемент 1, обозначаемый также через 1 К, являющийся нейтральным относительно умножения, называется единицей кольца К.
Кольцо К называется коммутативным, если a · b = b · a для любых элементов a , b кольца. Кольцо К называется нулевым, если |К| = {0 К }.
Опред. Кольцо К называется областью целостности, если оно коммутативно, 0 К ≠ 1 К и для любых a, b Î К из a· b = 0 следует a = 0 или b = 0.
Опред. Элементы a и b кольца К называются делителями нуля, если a ≠ 0, b ≠ 0 или ba = 0. (Любая область целостности не имеет делителей нуля.)
Пример. Пусть К – множество всех действительных функций, определенных на множестве R действительных чисел. Сумма f + g, произведение f · g, функция
f(-1) и единичная функция 1 определяются: (f + g) (х) = f (х) + g(х);
(f · g)(х) = f(х) · g(х); (–f) (х) =–f (х); 1(х) = 1. Непосредственная проверка показывает, что алгебра ‹К, +, -, ·, 1› является коммутативным кольцом.
Простейшие свойства. Пусть К – кольцо. Так как алгебра ‹К, +, -› есть абелева группа, то для любых элементов a, b, из К уравнение b + x = a имеет единственное решение a + (-b), которое обозначается также через a – b.
- если a + b = a, то b = 0;
- если a + b = 0, то b = -a;
- – (-a) = a;
- 0 · a = a · 0 = a;
- (-a)b = a(-b) = -(ab);
- (-a)(-b) = a · b;
- (a – b)c = ac – bc и c(a – b) = ca – cb.
Пусть К = ‹К, +, -, ◦, 1› и К` = ‹К`, +, -, ·, 1`› - кольца. Говорят, что отображение h множества К в К` сохраняет главные операции кольца К, если выполнены условия:
- h(a+b)=h(a)+h(b) для любых a, b из кольца К;
- h(-a)=-h(a) для любого a из К;
- h(a·b) = h(a)◦h(b) для любых a, b из К;
- h(1) = 1`.
Опред. Гомоморфизмом кольца К в (на) кольцо К` называется отображение множества К в (на) К`, сохраняющее все главные операции кольца К. Гомоморфизм кольца К на К` называется эпиморфизмом.
Опред. Гомоморфизм h кольца К на кольцо К` называется изоморфизмом, если h является инъективным отображением множества K на К`. Кольца К и К` называются изоморфными, если существуют изоморфизм кольца К на кольцо К`.
Определение 4.1.1. Кольцо (K , +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением . Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b ) c = a c + b c и с (a + b ) = c a + c b для произвольных a , b , c K .
Пример 4.1.1. Приведем примеры колец.
1. (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно кольца целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данные кольца называются числовыми .
2. (Z /n Z , +, ) – кольцо классов вычетов по модулю n N с операциями сложения и умножения.
3. Множество M n (K ) всех квадратных матриц фиксированного порядка n N с коэффициентами из кольца (K , +, ) с операциями матричного сложения и умножения. В частности, K может быть равно Z , Q , R , C или Z /n Z приn N .
4. Множество всех вещественных функций, определенных на фиксированном интервале (a ; b ) вещественной числовой прямой, с обычными операциями сложения и умножения функций.
5. Множество полиномов (многочленов) K [x ] с коэффициентами из кольца (K , +, ) от одной переменной x с естественными операциями сложения и умножения полиномов. В частности, кольца полиномов Z [x ], Q [x ], R [x ], C [x ], Z /n Z [x ] приn N .
6. Кольцо векторов (V 3 (R ), +, ) c операциями сложения и векторного умножения.
7. Кольцо ({0}, +, ) с операциями сложения и умножения: 0 + 0 = 0, 0 0 = = 0.
Определение 4.1.2. Различают конечные и бесконечные кольца (по числу элементов множества K ), но основная классификация ведется по свойствам умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1) и неассоциативные кольца (пункт 6 примера 4.1.1: здесь ,). Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (есть нейтральный элемент относительно умножения) и без единицы , коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные .
Теорема 4.1.1. Пусть (K , +, ) – ассоциативное кольцо с единицей. Тогда множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца K – мультипликативная группа.
Проверим выполнение определения группы 3.2.1. Пусть a , b K * . Покажем, что a b K * . (a b ) –1 = b –1 а –1 K . Действительно,
(a b ) (b –1 а –1) = a (b b –1) а –1 = a 1 а –1 = 1,
(b –1 а –1) (a b ) = b –1 (а –1 a ) b = b –1 1 b = 1,
где а –1 , b –1 K – обратные элементы к a и b соответственно.
1) Умножение в K * ассоциативно, так как K – ассоциативное кольцо.
2) 1 –1 = 1: 1 1 = 1 1 K * , 1 – нейтральный элемент относительно умножения в K * .
3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
= a
(а
–1) = 1
(а
–1) –1
=
a
.
Определение 4.1.3. Множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца (K , +, ) называют мультипликативной группой кольца .
Пример 4.1.2. Приведем примеры мультипликативных групп различных колец.
1. Z * = {1, –1}.
2. M n (Q ) * = GL n (Q ), M n (R ) * = GL n (R ), M n (C ) * = GL n (C ).
3. Z /n Z * – множество обратимых классов вычетов, Z /n Z * = { | (k , n ) = 1, 0 k < n }, при n > 1 | Z /n Z * | = (n ), где – функция Эйлера.
4. {0} * = {0}, так как в данном случае 1 = 0.
Определение 4.1.4. Если в ассоциативном кольце (K , +, ) с единицей группа K * = K \{0}, где 0 – нейтральный элемент относительно сложения, то такое кольцо называют телом или алгеброй с делением . Коммутативное тело называется полем .
Из данного определения очевидно, что в теле K * и 1 K * , значит, 1 0, поэтому минимальное тело, являющееся полем, состоит из двух элементов: 0 и 1.
Пример 4.1.3.
1. (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно числовые поля рациональных, вещественных и комплексных чисел.
2. (Z /p Z , +, ) – конечное поле из p элементов, если p – простое число. Например, (Z /2Z , +, ) – минимальное поле из двух элементов.
3.
Некоммутативным
телом является тело
кватернионов
– совокупность кватернионов
,
то есть выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = – 1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
.
Различают кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля.
Определение 4.1.5. Если в кольце найдутся ненулевые элементы a и b такие, что a b = 0, то их называют делителями нуля , а само кольцо – кольцом с делителями нуля . В противном случае кольцо называется кольцом без делителей нуля .
Пример 4.1.4.
1. Кольца (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – кольца без делителей нуля.
2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
для всех
V
3 (R
).
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
и
,
так как A
B
= O
(нулевая матрица).
4. В кольце (Z /n Z , +, ) с составным n = k m , где 1 < k , m < n , классы вычетов иявляются делителями нуля, так как.
Ниже приведем основные свойства колец и полей.
называется порядком элемента а. Если такого n не существует, то элемент а называется элементом бесконечного порядка.
Теорема 2.7 (малая теорема Ферма). Если a G и G конечная группа, то a |G| =e .
Примем без доказательства.
Напомним, что каждая группа G, ° является алгеброй с одной бинарной операцией, для которой выполняются три условия, т.е. указанные аксиомы группы.
Подмножество G 1 множества G с той же операцией, что и в группе, называется подгруппой, если G 1 , ° является группой.
Можно доказать, что непустое подмножество G 1 множества G является подгруппой группы G, ° тогда и только тогда, когда множество G 1 вместе с любыми элементами а и b содержит элемент а° b -1 .
Можно доказать следующую теорему.
Теорема 2.8 . Подгруппа циклической группы является циклической.
§ 7. Алгебра с двумя операциями. Кольцо
Рассмотрим алгебры с двумя бинарными операциями.
Кольцом называется непустое множество R , на котором введены две бинарные операции + и ° , называемые сложением и умножением такие, что:
1) R; + является абелевой группой;
2) умножение ассоциативно, т.е. для a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;
3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для
a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(а ° c) и (а +b)° c= (a° c)+(b° c).
Кольцо называется коммутативным, если для a,b R: a ° b=b ° a .
Кольцо записываем как R; +, ° .
Так как R является абелевой (коммутативной) группой относительно сложения, то она имеет аддитивную единицу, которую обозначают через 0 или θ и называют нулем. Аддитивную обратную для a R обозначают через -а. При этом в любом кольце R имеем:
0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.
Тогда получаем, что
x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 для х R; x° y=(х + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 для y R.
Итак, мы показали, что для х R: x ° 0 = 0° х = 0. Однако из равенства x ° y=0 не следует, что х= 0 или у= 0. Покажем это на примере.
Пример. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке функций. Введем для этих функций обычные операции сложения и умножения: f(x)+ ϕ (x) и f(x)· ϕ (x) . Как легко видеть, получим кольцо, которое обозначается C . Рассмотрим функцию f(x) и ϕ (x) , изображенные на рис. 2.3. Тогда получим, что f(x) ≡ / 0 и ϕ (x) ≡ / 0, но f(x)· ϕ (x) ≡0.
Мы доказали, что произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей: a ° 0= 0 для a R и на примере показали, что может быть, что a ° b= 0 для a ≠ 0 и b ≠ 0.
Если в кольце R имеем, что a ° b= 0, то а называется левым, а b правым делителями нуля. Элемент 0 считаем тривиальным делителем нуля.
f(x)·ϕ(x)≡0 |
|||||
ϕ (x) |
Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности.
Легко видеть, что
0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y
и поэтому x ° (-y)=(-x) ° y является обратным элементом для элемента х° у, т.е.
х ° (-у ) = (-х )° у = -(х ° у ).
Аналогично можно показать, что (- х) ° (- у) = х° у.
§ 8. Кольцо с единицей
Если в кольце R существует единица относительно умножения, то эту мультипликативную единицу обозначают через 1.
Легко доказать, что мультипликативная единица (как и аддитивная) единственна. Мультипликативную обратную для a R (обратную по умножению) будем обозначать через а-1 .
Теорема 2.9 . Элементы 0 и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R .
Доказательство. Пусть R содержит не только 0. Тогда для a ≠ 0 имеем а° 0= 0 и а° 1= а ≠ 0, откуда следует, что 0 ≠ 1, ибо если бы 0= 1, то и их произведения на а совпадали бы.
Теорема 2.10 . Аддитивная единица, т.е. 0, не имеет мультипликативного обратного.
Доказательство. а° 0= 0° а= 0 ≠ 1 для а R . Таким образом, ненулевое кольцо никогда не будет группой относительно умножения.
Характеристикой кольца R называют наименьшее натуральное число k
такое, что a + a + ... + a = 0 для всех a R . Характеристика кольца
k − раз
записывается k=char R . Если указанного числа k не существует, то полагаем char R= 0.
Пусть Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел; С – множество всех комплексных чисел.
Каждое из множеств Z, Q, R, C с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Эти кольца являются коммутативными, с мультипликативной единицей, равной числу 1. Эти кольца не имеют делителей нуля, следовательно, являются областями целостности. Характеристика каждого из этих колец равна нулю.
Кольцо непрерывных на функций (кольцо C ) тоже является кольцом с мультипликативной единицей, которая совпадает с функцией, тождественно равной единице на . Это кольцо имеет делители нуля, поэтому не является областью целостности и char C= 0.
Рассмотрим ещё один пример. Пусть М - непустое множество и R= 2M - множество всех подмножеств множества М. На R введем две операции: симметрическую разность А+ В= А В (которую назовём сложением) и пересечение (которое назовём умножением). Можно убедиться, что получили
кольцо с единицей; аддитивной единицей этого кольца будет , а мультипликативной единицей кольца будет множество М. Для этого кольца при любом А, А R , имеем: А+ А = А А= . Следовательно, charR = 2.
§ 9. Поле
Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения.
Приведем прямое определение поля, перечисляя все аксиомы.
Поле – это множество P с двумя бинарными операциями «+ » и «° », называемыми сложением и умножением, такими, что:
1) сложение ассоциативно: для a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ;
2) существует аддитивная единица: 0 P, что для a P: a+0 =0 +a=a;
3) существует обратный элемент по сложению: для a P (-a) P:
(-a)+a=a+(-a)=0;
4) сложение коммутативно: для a, b P: a+b=b+a ;
(аксиомы 1 – 4 означают, что поле есть абелева группа по сложению);
5) умножение ассоциативно: для a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;
6) существует мультипликативная единица: 1 P , что для a P:
1 ° a=a° 1 =a;
7) для любого ненулевого элемента (a ≠ 0) существует обратный элемент по умножению: для a P, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;
8) умножение коммутативно: для a,b P: a ° b=b ° a ;
(аксиомы 5 – 8 означают, что поле без нулевого элемента образует коммутативную группу по умножению);
9) умножение дистрибутивно относительно сложения: для a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).
Примеры полей:
1) R;+, - поле вещественных чисел;
2) Q;+, - поле рациональных чисел;
3) C;+, - поле комплексных чисел;
4) пусть Р 2 ={0,1}. Определим, что 1 +2 0=0 +2 1=1,
1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Тогда F 2 = P 2 ;+ 2 , является полем и называется двоичной арифметикой.
Теорема 2.11 . Если а ≠ 0, то в поле единственным образом разрешимо уравнение а° х=b .
Доказательство . a° x=b a-1 ° (a° x)=a-1 ° b (a-1 ° a)° x=a-1 ° b
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ГРУППЫ.
Опр1 .Пусть G не пустое множество элементов произвольной природы. G называется группой
1) На множестве G задана бао °.
2) бао ° ассоциативна.
3) Существует нейтральный элемент nÎG.
4) Для любого элемента из G симметричный ему элемент всегда существует и принадлежит такжеG.
Пример. Множество Z – чисел с операцией +.
Опр2 .Группа называется абелевой , если она коммутативна относительно заданной бао °.
Примеры групп:
1) Z,R,Q «+» (Z+)
Простейшие свойства групп
В группе существует единственный нейтральный элемент
В группе для каждого элемента существует единственный симметричный ему элемент
Пусть G - группа с бао °, тогда уравнения вида:
a°x=b и x°a=b (1) - разрешимы и имеют единственное решение.
Доказательство . Рассмотрим уравнения (1) относительно x. Очевидно, что для а $! а". Так как операция ° - ассоциативна, то очевидно x=b°a" - единственное решение.
34. ЧЕТНОСТЬ ПОДСТАНОВКИ*
Определение 1 . Подстановка называется четной , если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетная в противном случае.
Предложение 1 .Подстановка
Является четной <=> - четная перестановка. Следовательно, количество четных подстановок
из n чисел равно n!\2.
Предложение 2 . Подстановки f и f - 1 имеют один характер четности.
> Достаточно проверить, что если - произведение транспозиций, то <
Пример:
ПОДГРУППА. КРИТЕРИЙ ПОДГРУППЫ.
Опр. Пусть G - группа c бао ° и не пустое подмножество HÌG, тогда H называют подгруппой группы G, если H -подгруппа относительно бао° (т.е. ° - бао на Н. И Н с этой операцией группа).
Теорема (критерий подгруппы). Пусть G - группа относительно операции°, ƹHÎG. H является подгруппой <=> "h 1 ,h 2 ÎH выполняется условие h 1 °h 2 "ÎH (где h 2 " - симметричный элемент к h 2).
Док-во. =>: Пусть H - подгруппа (нужно доказать, что h 1 °h 2 "ÎH). Возьмем h 1 ,h 2 ÎH, тогда h 2 "ÎH и h 1 °h" 2 ÎH (так как h" 2 - симметричный элемент к h 2).
<=: (надо доказать, что H - подгруппа).
Раз H¹Æ , то там есть хотя бы один элемент. Возьмем hÎH, n=h°h"ÎH, т.е. нейтральный элемент nÎH. В качестве h 1 берем n, а в качестве h 2 возьмём h тогда h"ÎH Þ " hÎH симметричный элемент к h также принадлежит H.
Докажем, что композиция любых элементов из Н принадлежит Н.
Возьмём h 1 , а в качестве h 2 возьмём h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.
Пример. G=S n , n>2, α - некоторый элемент из Х={1,…,n}. В качестве H возьмём не пустое множество H= S α n ={fÎ S n ,f(α)=α}, при действии отображения из S α n α остаётся на месте. Проверяем по критерию. Возьмём любые h 1 ,h 2 ÎH. Произведение h 1 . h 2 "ÎH, т.е H - подгруппа, которая называется стационарной подгруппой элемента α.
КОЛЬЦО, ПОЛЕ. ПРИМЕРЫ.
Опр. Пусть К непустое множество с двумя алгебраическими операциями: сложением и умножением. К называется кольцом , если выполняются следующие условия:
1) К- абелевагруппа(коммутативна относительно заданной бао °) относительно сложения;
2) умножение ассоциативно;
3) умножение дистрибутивно относительно сложения().
Если умножение коммутативно, то К называют коммутативным кольцом . Если относительно умножения есть нейтральный элемент, то К называют кольцом с единицей .
Примеры.
1)Множество Z целых чисел образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.
2) Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел являются полями
относительно обычных операций сложения и умножения чисел.
Простейшие свойства колец.
1. Так как К абелева группа относительно сложения, то на К переносятся простейшие свойства групп.
2. Умножение дистрибутивно относительно разности: a(b-c)=ab-ac.
Доказательство. Т.к. ab-ac+ac=ab и a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, то a(b-c)=ab-ac.
3. В кольце могут быть делители нуля, т.е. ab=0, но отсюда не следует,что a=0 b=0.
Например, в кольце матриц размера 2´2, существуют элементы не равные нулю такие, что их произведение будет нуль: ,где - играет роль нулевого элемента.
4. a·0=0·а=0.
Доказательство. Пусть 0=b-b. Тогда a(b-b)=ab-ab=0. Аналогично 0·а=0.
5. a(-b)=(-a)·b=-ab.
Доказательство: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.
6. Если в кольце К существует единица и оно состоит более, чем из одного элемента, то единица не равна нулю, где 1─ нейтральный элемент при умножении; 0 ─ нейтральный элемент при сложении.
7. Пусть К кольцо с единицей, тогда множество обратимых элементов кольца образуют группу относительно умножения, которую называют мультипликативной группой кольца K и обозначают K* .
Опр. Коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором любой отличный от нуля элемент обратим, называется полем .
Простейшие свойства поля
1. Т.к. поле - кольцо, то все свойства колец переносятся и на поле.
2. В поле нет делителей нуля,т.е. если ab=0 ,то a=0 или b=0.
Доказательство.
Если a¹0 ,то $ a -1 . Рассмотрим a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 , а если a¹0 ,то b=0, аналогично если b¹0
3. Уравнение вида a´x=b, a¹0, b – любое, в поле имеет единственное решение x= a -1 b, или х=b/a.
Решение этого уравнения называется частным.
Примеры. 1)PÌC, P - числовое поле. 2)P={0;1};
Содержащее единицу, называется кольцом с единицей . Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I или E .
Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента.
Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы , что может вносить путаницу.
Единица, нуль и теория категорий
Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым.
Обратимость
Обратимым называется всякий элемент u кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:
∃ v 1: v 1 u = 1 {\displaystyle \exists v_{1}:v_{1}\,u=1} ∃ v 2: u v 2 = 1 {\displaystyle \exists v_{2}:u\,v_{2}=1} (a 1 + μ 1 1) (a 2 + μ 2 1) = a 1 a 2 + μ 1 a 2 + μ 2 a 1 + μ 1 μ 2 1 {\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} }}с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент 1 будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент.
С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над